~ La multiplication avec la planche à clous.

Pour faire suite à l’article sur l’addition et la soustraction avec la planche à clous, je vais vous présenter maintenant la multiplication avec ce même matériel.

1. Multiplication avec un seul chiffre au multiplicateur

Exemple : 24 x 4

On sait qu’une multiplication revient à additionner plusieurs fois le même nombre. Donc 24 multiplié par 4 signifie que l’on va additionner 4 fois le nombre 24. On place donc les clous verts et bleus (4 clous verts et 2 clous bleus) correspondant à 24, 4 fois.

Les clous représentants chaque nombre sont installés horizontalement (comme pour l’addition et la soustraction), les uns en dessous des autres en commençant en haut à gauche de la planche.

Puis, comme pour une addition on met tout ensemble. On rassemble les unités et les dizaines vers le bas.

Puis on compte les unités : on trouve 16 clous verts que l’on va pouvoir échanger contre 1 clou bleu et 6 clous verts. On place le clou bleu avec les autres clous bleus représentant les dizaines puis on compte tous les clous bleus. On en trouve donc 9.

Enfin, comme pour l’addition, on écrit le résultat trouvé horizontalement. Et on dit : “la multiplication de 24 par le chiffre 4 donne le produit 96”.

2. Multiplication avec deux chiffres au multiplicateur :

Exemple : 45 x 23 =

1ère étape :

Disposez sur la planche à clous dans le milieu (on pose notre opération):

– horizontalement de droite à gauche : trois clous verts et deux clous bleus (c’est le multiplicateur)

– verticalement : de bas en haut (voir photo) : cinq clous verts et quatre clous bleus (c’est le multiplicande).

2ème étape :

On multiplie les unités vertes (mises horizontalement) par les unités vertes (mises verticalement) et comme on sait que 1 x 1 = 1, à chaque fois on remplit l’espace par des clous verts et donc par des unités.

Puis on multiplie les unités (mises horizontalement) vertes par les dizaines (mises verticalement) bleues et comme on sait que 1 x 10 = 10, on remplit l’espace par des clous bleus donc des dizaines.

Cette étape correspondant à celle que l’on fait abstraitement lorsqu’on multiplie le 3 du multiplicateur par le chiffre du multiplicande (c’est-à-dire dans ce cas “45”).

3ème étape :

On multiplie les dizaines du multiplicateur (mises horizontalement) par les unités du multiplicande (mises verticalement) et comme on sait que 1 x 10 = 10, on remplit l’espace par des clous bleus représentant des dizaines.

Ensuite on multiplie également ces dizaines du multiplicateur (mises horizontalement) par les dizaines du multiplicande (mises verticalement) et comme on sait que 10 x 10 = 100, on remplit cet espace par des clous rouges représentant des centaines.

Cette étape permet petit à petit à l’enfant de comprendre que lorsqu’on multiplie par le chiffre des dizaines, cela décale toutes les valeurs des chiffres du multiplicande.

(Ceci explique l’introduction d’un zéro dans une multiplication faite abstraitement, dans la deuxième ligne du calcul de la multiplication.)

4ème étape :

On retire les clous qui représentent notre opération, c’est-à-dire 45 x 23.

Et nous sommes maintenant avec tous les clous qui représentent le résultat de la multiplication.

(Il est alors facile de visualiser qu’une multiplication correspond au calcul d’une surface.)

5ème étape :

On rassemble ensemble les clous des mêmes couleurs et ayant la même valeur : tous les clous verts représentant les unités ensemble, puis tous les clous bleus des dizaines ensemble et enfin les clous rouges des centaines.

(On comprend alors aussi que lorsqu’on fait une multiplication, on ajoute les deux résultats, c’est à dire dans ce cas : 45 x 3    +  45 x 20)

Tout ce type de renseignements n’est pas à dire à l’enfant, il faut le laisser absorber les choses sensoriellement et se faire son propre raisonnement qui le mènera peu à peu à l’abstraction.

6ème étape :

On compte les unités, les dizaines et les centaines de notre résultat et on fait les échanges nécessaires, c’est-à-dire 10 unités en une dizaine et 10 dizaines en une centaine.

Et on inscrit le résultat horizontalement : 8 clous rouges représentant 800 et 5 clous verts correspondant à 5 unités.

Donc le résultat de la multiplication de 45 par 23 donne le produit 805.

3. Le carré d’un nombre

Vous effectuez de la même manière le carré d’un nombre, par exemple :

24 x 24

Vous disposez vos deux nombres 24 de la même façon et vous remplissez l’espace par des clous verts, bleus et rouges. L’enfant observera ainsi qu’on dit “carré” d’un nombre car l’opération forme un carré.

Vous observerez également (mais sans le dire à l’enfant) que les unités forment un carré car un est le carré de 1, que les dizaines ne forment pas un carré car 10 n’est pas le carré d’un nombre et enfin que les centaines forment un carré car 100 est le carré de 10.

(Cette observation nous servira dans l’exercice d’extraction d’une racine carrée que nous pourrons effectuer avec ce matériel.)

Ensuite vous rassemblez les valeurs communes, vous faites les échanges et vous affichez le résultat et vous dites : “le carré de 24 qui s”écrit 24² est égal à 576″.

Ce matériel permet de préparer le passage à l’abstrait pour les enfants.

Sylvie d’Esclaibes