En maths, les fractions, c’est facile !…

Read in English

Nous republions cet article qui connaît un vif succès depuis sa publication en janvier 2012.

Maria Montessori a créé ce matériel très simple et efficace pour expliquer les fractions aux jeunes enfants.

1° Qu’est-ce qu’une fraction ?

Le un.

Montrer le cercle et expliquer que c’est « 1 » car c’est « 1 cercle » et c’est donc comme le nombre « 1 ».

Expliquer ensuite qu’un jour on a voulu inventer des nombres plus petits que « 1 », on a alors décidé de couper « 1 » en deux parties. Faire le geste de couper le cercle rouge « 1 » en deux parties avec une séparation horizontale.

Parallèlement on fait un trait horizontal sur une feuille :  « ______ ».

On demande à l’enfant combien on a fait de parties en coupant « 1 » en « deux ».

Il vous répond : « 2 », donc on écrit un « 2 » en dessous de la ligne :

Ensuite on prend le socle vert avec les trois parties rouges et on demande : « combien j’ai de parties rouges dans la famille des troisièmes (ou des tiers) ? », l’élève répond : « 3 », donc on place un « 3 » en dessous du trait horizontal, ainsi :

On explique que ce chiffre placé en dessous du trait s’appelle le dénominateur.

Ensuite, quel est le dénominateur dans la famille des quatrièmes (ou quarts) en montrant le socle avec les 4 parties. L’enfant répond : « 4 » et on écrit ainsi :

Et ainsi de suite jusqu’à 10.

Le un-demi.

Ensuite on reprend le socle vert où se trouvaient les deux parties rouges. On prend une des deux parties rouges et on explique que quand on veut parler d’un seul membre de la famille des deuxièmes on met un « 1 » au-dessus du trait, ainsi :

Si je veux parler d’un membre de la famille des troisièmes (ou tiers), je mets le 1 au dessus de la ligne, ainsi :

Le nombre au-dessus de la ligne s’appelle le numérateur.

Si je veux parler de plus qu’un seul membre dans une famille : Exemple, deux tiers, je l’écris  :

Lorsque l’enfant a compris cette écriture, on prépare des étiquettes avec différents noms des fractions qu’on lui demande de prendre dans les plateaux verts et rouges et de poser à côté des étiquettes.

Exemple : 

2° Les équivalences de fractions

On dit à l’enfant : « aujourd’hui on va voir si certaines fractions ont la même valeur que d’autres, on va voir si elles couvrent la même surface dans les cercles ».

On commence avec le 1/2. On le retire de son socle et on demande : « est-ce que le 1/3 va dedans ? Est-ce qu’ils ont la même surface ? » Non… « On continue avec le 1/4… Oui, deux quarts couvrent la même surface que un demi et on écrit :

On continue avec les sixième et oui 3/6 = 1/2 et on écrit :

Et on continue avec les huitièmes et oui 4/8 = 1/2 et on écrit :

Et on continue avec les dixièmes et oui 5/10 = 1/2 et on écrit :

Conclusion : ils couvrent la même surface, ils ont la même surface, ils ont la même valeur, la même valeur fractionnaire.

Le but de ce travail est de familiariser l’enfant avec le concept de l’équivalence entre deux fractions. Ainsi on le prépare aux opérations sur les fractions où on lui demandera d’exprimer les résultats le plus simplement possible.

3° Opérations sur les fractions :

• Additions :

Trois huitièmes plus un huitième.

– Des fractions au même dénominateur.

Exemple : 3/8 + 1/8.

L’enfant place d’abord 3/8 et puis 1/8 dans l’espace vide du « 1 ». Il sait que lorsqu’on ajoute, on met tout ensemble, donc il regroupe les huitièmes et il compte cela fait 4/8 ; ensuite il cherche l’équivalence et il voit tout de suite que c’est égal à 1/2.

On peut écrire la réponse :

Et on peut faire le constat suivant : « Quand on ajoute deux fractions de même dénominateur, on ajoute les numérateurs mais le dénominateur reste le même. »

– Des fractions avec dénominateurs différents.

3 quarts plus 1 huitième.

Exemple : 3/4 + 1/8

On fait toujours travailler l’enfant dans un cercle vide. L’enfant pose les différents éléments de fraction dans le cercle et voit que, comme les éléments sont différents, il peut les mettre ensemble mais ne trouve pas de réponse. Il fait différents essais et se rend compte qu’avec le socle des huitièmes, il peut  trouver des éléments qui soient équivalents aux quarts. Il trouve que 3/4 est égal à 6/8, il replace ainsi les huitièmes tous ensembles et on écrit :

On continue avec d’autres exemples où les fractions devront être réduites telles que : 1/2 + 2/5.

On lui fait ensuite constater la règle : « Quand on additionne des fractions de dénominateurs différents, il faut d’abord réduire l’une ou les deux fractions afin que leurs dénominateurs soient les mêmes ».

• Soustractions :

– Des fractions au même dénominateur.

5 huitièmes – 3 huitièmes.

Exemple : 5/8 – 3/8

L’enfant place 5/8 dans le cercle vide de la forme entière. Puis il retire 3/8, il reste 2/8 qui peut être simplifié en 1/4. On écrit :

On lui fait ensuite constater la règle : « Pour soustraire des fractions de même dénominateur, soustraire le plus petit numérateur du plus grand, le dénominateur reste le même. Simplifier ou réduire si possible ».

– Des fractions au dénominateur différent.

Exemple : 5/8 –1/4

5 huitièmes – 1 quart

L’enfant en principe est capable de se rendre compte qu’il faut qu’il fasse des simplifications car il l’a déjà fait avant. Il est clair que 1/4 ne peut pas être retiré de 5/8.

Il essaie donc d’échanger 1/4 avec des huitièmes et trouve que 1/4 = 2/8, il peut donc retirer les 2/8 au 5/8 et il reste 3/8et on peut écrire :

Constatons la règle : « Quand on soustrait des fractions de dénominateurs différents, réduire une ou les deux afin que les dénominateurs soient les mêmes ».

• Multiplication :

– Multiplication d’une fraction par un nombre entier :

Exemple : 1/9 x 6

L’enfant place 1/9 six fois dans l’espace vide, il les met ensemble et les compte « 6/9 » qui peut être réduit à l’équivalence de « 2/3 ».

On lui fait constater la règle : « Pour multiplier une fraction par un nombre entier, multiplier le numérateur, le dénominateur reste le même. Réduire si possible. »

– Multiplication d’une fraction par une fraction :

Exemple : 1/2 x 4/7. Les quatre septièmes sont placés dans l’espace vide du socle de l’entier. Egalement 1/2 x 4/7 peut être cité comme 1/2 ou la moitié de 4/7.

Maintenant quand on prend la moitié de n’importe quoi, que faisons nous ?  Nous le cassons en deux parts égales. Aussi si on casse 4/7 en deux parties égales, chaque part sera 2/7 et c’est notre réponse.

En utilisant cette même technique, il est possible de travailler avec d’autres exemples, comme 3/4 de 8/9è. On partage d’abord les 8/9è en 4 parts égales (correspondant aux quarts du 3/4), ces parts égales seront donc composées chacune de 2/9è. Comme nous prenons 3/4 de la quantité totale, nous posons trois ensembles de 2/9è (correspondant au 3 du 3/4) Le résultat est donc 6/9è qui peut être réduit à l’équivalence de 2/3.

On fait d’autres exemples et on fait constater la règle : « quand on multiplie deux fractions ensemble, premièrement on multiplie les numérateurs et ceci forme le numérateur de la réponse. Puis on multiplie les dénominateurs, ceci forme la réponse. Dans la plupart des cas, il est nécessaire ensuite de réduire. »

Exemple :

• Division :

– Division d’une fraction par un nombre entier

Exemple : 4/7 : 2

L’enfant place 2 quilles vertes comme des diviseurs et place les quatre septièmes dans l’espace vide du socle ; puis il partage les septièmes de façon égale entre les deux quilles. La réponse à une division est ce qu’une quille verte a, ici deux septièmes. Et on écrit :

Et on lui fait constater la règle : « Pour diviser une fraction par un nombre entier, diviser simplement le numérateur par le diviseur ; le dénominateur reste le même. Réduire si possible. »

Deuxième exemple : 1/2 : 4

L’enfant place le 1/2 (dividende) dans le socle vide et sort les 4 quilles vertes du diviseur. 1/2 ne peut pas être partagé avec les quilles ainsi installées, aussi cela doit être changé. L’enfant sait ou fait des essais pour changer le 1/2 en parties qui pourront être partagées par 4. Il trouve 1/2 est égal à 4/8. Maintenant il peut partager ou distribuer les 4/8 à chaque quille. Le résultat est ce qui est attribué à une des quilles vertes. Notre réponse est donc : 1/8

La règle est donc la suivante : « Quand le numérateur d’une fraction peut être divisé par le diviseur, cela donne immédiatement le résultat. Quand le numérateur ne peut pas être divisé par le diviseur, il faut multiplier le dénominateur de la fraction par ce diviseur. Réduire si possible. »

– Division d’une fraction par une fraction

Exemple : 1/7 : 1/3

On sait que dans une division le résultat est toujours ce que « Une Unité » a,

(ce que UN a).

Comme on ne peut pas faire « une unité » avec un seul tiers, on est obligé de rajouter deux autres tiers pour pouvoir faire UN avec les trois tiers. Pour cette division de fraction, on attribue donc un sepième à chacun de ces tiers, ce qui revient à convertir : 1/7 : 1/3 en 3/7 : 3/3.  On réunit ensuite les trois tiers du diviseur en UN et les 3/7è du dividende correspondent au résultat de la division de fractions :

Autre exemple : 4/9 : 1/2

De la même manière, dans cette division de fractions, je rajoute un demi pour faire Un et j’attribue quatre neuvièmes à chacun de mes deux demis. Je réunis ensuite mes deux demis diviseurs pour faire Un et je réunis mes huit neuvièmes qui sont le résultat.

Et on énonce la règle : « Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie le numérateur du dividende par le dénominateur du diviseur et le dénominateur du dividende par le numérateur du diviseur. »

Avant de faire apprendre une quelconque règle par cœur à un enfant, il faut qu’il ait beaucoup pratiqué le concept avec le matériel afin qu’il puisse constater que cette règle est prouvée par la manipulation sensorielle du matériel. Le mieux est qu’il trouve la règle par lui-même.

Les photographies de cet article montrent les opérations effectuées avec le matériel Montessori (plateaux verts avec cercles fractionnés rouges et quilles en bois fractionnées). Les parents peuvent bien entendu très facilement réaliser leur propre matériel selon le modèle ci-dessus (Ou avec dix carrés, dix rectangles ou encore dix barres fractionnés du 1 entier à dix dizièmes…)

Sylvie Rousseau-d’Esclaibes