Ah ! Si on enseignait les mathématiques autrement !

Je publie à nouveau cet article qui a connu un vif succès depuis la création de ce blog et qui est toujours totalement d’actualité étant donné les nombreuses remarques que nous entendons au cours des formations Montessori 3/6 ans et 6/12 ans de mathématiques.

Il y a également une importante demande de la part des professeurs des écoles notamment les écoles privées sous contrat dans lesquelles nous intervenons chaque mercredi et pendant les vacances.

Il est d’ailleurs très positif de constater comme de plus en plus d’écoles privées sous contrat se procurent le matériel Montessori afin de mieux enseigner à leurs élèves.

Depuis plus de 20 ans que j’explique comment les mathématiques sont enseignées dans les écoles Montessori, je suis toujours surprise et amusée par la réaction des parents d’élèves : « ah ! si on m’avait enseigné les fractions de cette façon, j’aurais compris tout de suite… » « Comme les soustractions semblent évidentes ainsi ! » « Avec tout ce matériel, les maths semblent tellement faciles et évidentes, etc… »

Carré de trois, de quatre, etc…

« De la même façon, quand j’enseignais les mathématiques à de jeunes élèves arrivant d’autres écoles, ceux-ci me disaient souvent : « je ne comprends rien aux maths, c’est trop difficile, je n’y arriverai jamais, etc… ». Toutes ces phrases négatives sont  le résultat d’un enseignement très mal adapté aux modes d’apprentissage du jeune enfant. Après quelques mois dans ma classe, et après avoir étudié quelques concepts à l’aide du matériel concret Montessori, ces mêmes enfants commençaient à considérer les concepts mathématiques comme un jeu d’enfant et les comprenaient de plus en plus facilement. D’où vient cette recette miracle ?

Addition de fractions.
Deux 6èmes + deux 6èmes = deux tiers

Elle vient du fait que dans la pédagogie Montessori, tous les concepts mathématiques sont présentés avec un matériel concret adéquat que l’enfant peut manipuler. Contrairement à ce qui est fait dans les écoles à la pédagogie traditionnelle, jamais une notion n’est enseignée d’une façon abstraite basée sur des « trucs » que l’on vous demande d’appliquer de façon automatique sans les comprendre.

Dans la formation Montessori que j’ai suivie, la présidente de l’association Montessori d’Amérique du Nord, venue du Canada, m’expliquait qu’il fallait le plus souvent possible laisser l’enfant trouver le raisonnement par lui-même, qu’il comprenne tout seul comment arriver aux résultat.

1000, 100, 10, 1…

Grâce au matériel concret Montessori, l’enfant a toujours la notion de ce qu’il fait. Par exemple, dans les exercices sur la notion de l’unité, de la dizaine, de la centaine et du mille, le professeur présente au petit enfant un matériel que celui-ci prend dans ses mains. Il se rend alors compte qu’une unité c’est tout petit. Il a en revanche du mal à tenir le cube de mille dans sa petite main et comprend donc que mille c’est beaucoup, une quantité importante.

En ayant ainsi une notion concrète des quantités, l’enfant aura beaucoup moins tendance à écrire un résultat aberrant à un problème mathématique. Grâce aux manipulations des quantités, il sera choqué par une réponse incohérente.

On demande souvent aux enfants, dans les écoles classiques, de faire appel uniquement à la mémorisation. C’est le cas avec l’apprentissage par cœur des tables de multiplication. Cet apprentissage est certes fort utile, mais pourquoi ne pas apprendre d’abord aux enfants comment ces tables sont constituées ?

Escalier de perles.

Dans les classes Montessori de nos écoles Athéna ainsi que dans celles de notre réseau, on dispose d’un matériel fait de barrettes de perles de couleurs (voir illustration). Depuis la maternelle, l’enfant sait que la perle 1 est rouge, la barrette de 2 est verte, celle de 3 est rose, etc… (voir photo de l’escalier de perles) Ensuite on lui apprend qu’une multiplication, c’est l’addition de la même quantité un certain nombre de fois.

Donc lorsque l’enfant fait 4 fois le nombre 3, il prend 4 fois la barrette rose de 3 et il compte en mettant l’accent sur chaque multiple de 3. Lorsqu’il fait 6 fois le nombre 8, il prend et met ensemble 6 fois la barrette marron de 8 et il compte en insistant bien sur tous les multiples de 8. Ainsi si un jour l’enfant a un trou de mémoire, il saura retrouver le résultat de 6 fois 8 et comptera de 8 en 8, 6 fois. L’enfant qui aura uniquement appris par cœur les tables sans comprendre comment elles sont élaborées sera pénalisé en cas de problème de mémorisation du par exemple au stress lors d’un examen.

Tableau de la multiplication.

Dans nos classes Montessori, sachant que nous sommes tous différents et avons donc chacun nos propres modes d’apprentissage, l’enfant a à sa disposition plusieurs matériels différents relatifs à chaque concept. Pour cette notion de multiplication, il existe donc les barrettes de perles, mais aussi le tableau de la multiplication (photo ci-contre), là boîte de timbres, le boulier, la planche à clous, etc… Ces autres matériels lui permettent de constater pareillement que, pour faire les tables de multiplication, on met autant de fois la même quantité qu’il nous est demandé.

La manipulation est primordiale. Pensez toujours aux cinq sens. Tout s’apprend de manière efficace grâce aux sens.

L’enfant qui aura, par exemple, fait les gestes de retirer des perles lorsqu’il fera une soustraction, cet enfant aura pleinement conscience que, lorsque l’on fait une soustraction, on enlève quelque chose avec pour résultat une quantité inférieure à la quantité de départ.

Equivalence de fractions. Deux quarts = un demi. Trois cinquièmes = six dizièmes.

Le sens visuel est également essentiel. Lorsque l’enfant voit le matériel Montessori des fractions, il constate immédiatement que dans un demi ou peut mettre deux quarts. Il ne l’oubliera pas, alors qu’abstraitement tout n’est qu’une question de « truc » et de « mémoire ». N’entendons-nous pas souvent la phrase : « je ne vois pas ce que tu veux dire… » ? N’avons-nous pas, en effet, tous besoin de voir pour comprendre ?

En géométrie, l’enfant qui aura manipulé les bâtons de géométrie et construit par lui-même avec ses mains des carrés, des rectangles, des angles aigus, obtus, etc…, cet enfant se souviendra parfaitement que, pour faire des carrés, il a pris des bâtons qui sont tous de la même couleur et donc égaux alors que pour faire un rectangle, il a utilisé des bâtons différents égaux deux à deux.

Construire des formes géométriques.

Quand il aura travaillé, à trois ans, avec le cabinet géométrique et que, visuellement, il aura mis les bonnes formes dans les bons encastrements, cet enfant sera familier avec les formes géométriques, leurs noms, etc… et aura surmonté beaucoup de difficultés par rapport à celui qui doit tout apprendre abstraitement en une leçon.

Dans les écoles Montessori, on n’enseigne jamais des « trucs », des règles à mémoriser sans chercher à les comprendre,  comme il est fait dans les écoles classiques.

soustraction à retenue 1
Echanges

Par exemple pour la soustraction où il est dit à l’enfant : « tu mets un petit « un » en haut et un petit « un » en bas » et où on dit ensuite à l’enfant comment il doit considérer ces petits « un » dans le calcul de l’opération sans pouvoir lui expliquer la logique de ces petits « un », logique qui de toute façon est inexistante.

Soustraction à retenue – résultat.

Jamais ni un enfant ni un adulte n’ont pu m’expliquer pourquoi ils faisaient ainsi.

Dans la classe Montessori, on explique vraiment concrètement ce que l’on fait. Lorsque par exemple on veut soustraire une quantité et qu’il n’y a pas la quantité suffisante en unité, dizaine ou centaine pour le faire, on procède à des échanges (voir leçon sur la soustraction à retenue ci-dessus et ci-contre ainsi qu’à la fin de cet article).

Ceci est une aide considérable pour comprendre ensuite la soustraction par exemple dans les notions d’heures où le système du « petit un en haut et petit un en bas » ne fonctionne plus du tout.

2 + 3 = 5

De même, lorsque l’on aborde les notions de mesures, tout est vu concrètement et relié à la vie de l’enfant. On lui fait réaliser son propre livret dans lequel il prend les mesures des tables, des étagères, de son livre, du couloir, de l’école, etc…

2 x 4

Il constate de cette façon qu’un centimètre c’est petit et que les centimètres servent à mesurer de petits objets et que les mètres sont beaucoup plus grands et servent à mesurer les salles de classe, etc… Il en va de même pour les mesures de poids avec la balance que l’on met dans la classe pour que les enfants se pèsent ainsi que celle avec laquelle ils peuvent peser de petits objets.  On les emmène aussi au rayon fruits et légumes des magasins faire des mesures. Ils comprennent ainsi les différentes notions de poids.

Il est très important de toujours relier tous les concepts à la vie de l’enfant afin qu’il comprenne bien qu’il utilise ces concepts dans sa vie de tous les jours. Par exemple, pour les mathématiques, lorsqu’il doit apprendre à écrire les chiffres en lettres, il sera très intéressé par un chéquier fictif édité à son nom où on lui demandera de rédiger ses propres chèques. Il comprendra de cette façon l’intérêt d’apprendre à écrire les chiffres en lettres…

Addition 1
Addition 2

De même, dans nos classes Montessori, on insiste toujours sur le vocabulaire. N’oublions pas que nous étudions de nombreuses notions mathématiques avec des enfants très jeunes (entre trois et six ans) qui sont en pleine période sensible du langage. Mais même pour les plus grands, les mots sont essentiels.

multiplication 1
multiplication.
multiplication résultat

On parle de « somme » pour le résultat de l’addition, de « différence » pour celui de la soustraction, de « produit » pour la multiplication et de « quotient » ou de « partage » pour la division. Ainsi lorsque dans un problème l’enfant lira la question : « chercher la différence… », son cerveau verra tout de suite le mot « soustraction », etc…

Il est également essentiel d’étudier les mathématiques de manière individuelle. En effet, à l’intérieur de cette matière, l’enfant traverse ses propres périodes sensibles au cours desquelles il va être plus passionné par certaines acquisitions que par d’autres. Par conséquent, il retiendra pendant ces périodes certains concepts plus facilement et durablement que d’autres. J’ai vu personnellement des enfants particulièrement intéressés pendant plusieurs semaines par la division. Ils pouvaient en faire et en refaire pendant des jours entiers. Un beau jour la passion pour la division s’arrêtait net et ils passaient à autre chose.

Tables de multiplication.

Donc attention à la rigueur des programmes. Le professeur doit garder en tête ce que l’élève doit acquérir pendant son année mais l’ordre des acquisitions importe peu. Les maths sont encore une fois une matière à enseigner en respectant le rythme et l’évolution de chacun.

L’enfant a besoin de comprendre, de raisonner. Par exemple, on lui dit de calculer la circonférence d’un cercle en multipliant le diamètre de ce cercle par le nombre «pi » sans jamais lui expliquer ce qu’est ce nombre et à quoi il correspond. L’enfant doit juste apprendre cela par cœur ainsi que le fait que pi est égal à 3,14 Mais pourquoi ? Dans une école Montessori, il saura ce qu’est le nombre « pi » et pourquoi il est égal à « 3,14 ».

Division avec change 1
2 – partage de 3 centaines et conversion du reste en dizaines.
3 – partage des dizaines
4 – conversion des dizaines restantes en unités
5 – Partage des unités et résultat.

Dans les écoles traditionnelles, les enfants doivent uniquement faire ce qu’on leur dit sans se poser de questions, accepter car c’est un adulte qui le dit, et surtout ne pas tenter de trop comprendre en interrogeant le professeur pendant les leçons car cela dérange le déroulement du cours. Comment voulez-vous que les mathématiques soient alors un plaisir pour eux ?  Comment pourraient-ils ensuite devenir des adultes qui réfléchissent, qui raisonnent, des adultes qui n’acceptent pas tout comme une fatalité et qui gardent la faculté d’accepter ou de refuser avec discernement et de prendre des initiatives ?

Un enfant qui aura appréhendé les concepts abstraits d’une manière sensorielle, par lui-même, qui aura compris le pourquoi du comment par le biais de multiples manipulations, cet enfant sera actif dans sa vie adulte, il saura réfléchir, créer, construire, et fera cela bien sur avec son cerveau mais aussi avec tous ses sens éveillés.

Conversion : 1 mille = 10 centaines

Pour un enfant précoce, la contrainte d’apprendre sans comprendre est d’autant plus insupportable. Il veut trouver les solutions par lui-même. C’est ainsi que souvent les enfants précoces se retrouvent en échec total en mathématiques car elles sont enseignées d’une façon telle que tout leur semble incompréhensible. Souvent ils compliquent encore davantage les choses et n’y arrivent pas. La répétition sans fin des notions en classe primaire leur cause de surcroît un ennui insupportable.

Conversion : 10 dizaines = 1 centaine

Une des caractéristiques de l’enfant doué en mathématiques est qu’il comprend tout par lui-même et le retient pour toujours. Il faut donc absolument lui permettre d’avancer à son rythme dans les programmes et le laisser étudier selon son propre raisonnement. Ainsi, au Lycée International Montessori, plusieurs enfants se retrouvaient avec quatre voire cinq ans d’avance en mathématiques sans problème.

Conversion : 10 unités = 1 dizaine

On reproche souvent à ces enfants doués, lorsqu’ils sont dans les grandes classes, d’arriver aux résultats sans passer par toutes les étapes intermédiaires. C’est vrai mais on peut palier ceci en leur expliquant que les professeurs, pour certaines épreuves, attendent un raisonnement, une rédaction de ce raisonnement, et que le résultat n’est pas l’essentiel. Ils le comprennent petit à petit bien que cela n’aille pas dans le sens de leur vivacité d’esprit. Il est surtout important, lorsqu’ils sont jeunes, de les laisser s’amuser, avancer, progresser, jouer avec les mathématiques…

Addition
Addition résultat

Pour l’enfant dyscalculique, en revanche, apprendre les mathématiques d’une manière abstraite comme cela est fait dans les écoles traditionnelles est une source de grande souffrance. Il est impossible à ces enfants d’apprendre les maths de cette façon, ce qui les met en situation d’échec.

Soustraction 1

En revanche, la manipulation du matériel Montessori leur permet de progresser, de comprendre un certain nombre de notions et même s’ils ne seront jamais des génies des mathématiques, ils ne seront pas en échec et pourront avancer dans les programmes à leur rythme ce qui est essentiel pour ce genre d’enfant.

Ce sont en effet des enfants qui ont en général une très grande volonté et qui récoltent malheureusement rarement le fruit de tout leur travail. Il faut donc absolument les aider en mettant tout en œuvre pour leur permettre une certaine réussite.

Soustraction resultat.

  Pour l’enfant dyslexique, la vie n’est pas facile, tout déchiffrage de texte est une angoisse et toutes les matières du Français le mettent en grande difficulté. Il est donc très important de trouver des matières dans lesquelles il puisse réussir. Les maths peuvent être la solution mais à condition de ne pas le laisser seul devant son livre, face à des consignes, des énoncés de problèmes qui sont de nouveaux déchiffrages source de difficultés. Ne mélangeons pas tout. L’important est qu’il comprenne les concepts mathématiques, qu’il réussisse à faire des opérations, qu’il trouve le bon raisonnement, qu’il sache tracer des droites perpendiculaires, etc…

Il est donc très important que le professeur lui lise les consignes et les énoncés pour que cet enfant ne se préoccupe alors uniquement que du raisonnement dans lequel il est en général très capable. Il peut de cette façon réussir très bien en mathématiques. Et quel bonheur pour lui d’avoir des succès ! Cela pourra même l’aider dans d’autres matières car il reprendra ainsi un peu confiance en lui, en ses capacités ! Ceci est essentiel pour l’enfant dyslexique car il a trop tendance à croire qu’il n’est pas intelligent, ce qui est totalement faux.

Je publierai donc régulièrement dans mon blog des articles sur tous les apprentissages mathématiques. J’ai commencé pour les touts petits avec l’enseignement de la numération et j’irai pour les grands jusqu’à l’enseignement des nombres relatifs et la résolution des équations au moyen de matériel concret de type Montessori.

Ne laissez surtout pas votre enfant en échec en mathématiques !

Pour vous aider à bien expliquer les mathématiques à vos enfants ou à vos élèves, vous pouvez utiliser « Les Petits Montessori » publiés à La Librairie des Ecoles. Vous pouvez les trouver en librairies, en grandes surfaces, à la Fnac, chez Cultura et sur Amazon :

Sylvie d’Esclaibes

2 commentaires

  1. Bonjour:est-il obligatoire de suivre les étapes ou peut on changer l’ordre? Je travailles avec une de mes élèves qui a une déficience intellectuelle sur les barres bleues et rouges mais ça ne fonctionne pas.puis-je passer directement aux barrettes de perles?
    Cordialement

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